十字相乘法是一种用于多项式因式分解的数学方法，主要用于二次三项式的因式分解。其核心思想是通过交叉相乘并相加的方式，将二次三项式转化为两个一次因式的乘积。以下是具体解析：
一、基本原理
十字相乘法基于乘法公式 $（x + a）（x + b） = x^2 + （a + b）x + ab$ 的逆运算。对于形如 $ax^2 + bx + c$ 的二次三项式，若能找到两个数 $p$ 和 $q$，使得：
1. $p \cdot q = a \cdot c$（二次项系数与常数项的乘积）
2. $p + q = b$（一次项系数）
则可将原式分解为 $（x + p）（x + q）$。
二、操作步骤
分解二次项和常数项 将二次项系数 $a$ 分解为两个因数 $a_1 \cdot a_2$，常数项 $c$ 分解为 $c_1 \cdot c_2$，并尝试组合使得 $a_1c_2 + a_2c_1 = b$。
交叉相乘并相加
按照十字交叉的方式排列因数：
$$
\begin{array}{c|cc}
& a_1 & a_2 \\
\hline
c_1 & c_1a_2 & c_1a_1 \\
c_2 & c_2a_2 & c_2a_1 \\
\end{array}
$$
交叉相乘后相加，若结果等于一次项系数 $b$，则分解成功。
写成因式乘积
将分解后的因数组合成 $（x + a_1）（x + a_2）$ 的形式。
三、示例解析
以 $6x^2 + 11x - 10 = 0$ 为例：
1. 分解 $6 = 2 \cdot 3$，$-10 = 5 \cdot （-2）$；
2. 交叉相乘验证：$2 \cdot （-2） + 3 \cdot 5 = -4 + 15 = 11$（满足条件）；
3. 因式分解结果为 $（2x + 5）（3x - 2）$。
四、注意事项
首项系数不为1： 当二次项系数不为1时，需通过质因数分解和组合尝试找到合适因数； 符号处理
五、与其他方法的区别
十字相乘法是因式分解的专用方法，与竖式乘法（逐位相乘）不同。前者用于将多项式拆解为因式，后者用于计算多项式的乘积。
通过以上步骤和示例，十字相乘法可高效解决特定二次三项式的因式分解问题。
